Baruj Spinoza en Grafos

Realizado por: Alfredo Calderón Serrano

1. Introducción.

Baruj Spinoza en su libro “Ética demostrada según el orden geométrico” utiliza el método deductivo para demostrar sus proposiciones. Es así que como ejemplo para demostrar la proposición 1/29 hace uso de otras proposiciones ya demostradas anteriormente, como las proposiciones: 1/15, 1/11, 1/16, 1/21, 1/28, 1/24, 1/26 y 1/27. Si regresamos para atrás y escogemos a cualquier de estas proposiciones, en este caso escogeré la 1/11, encontramos que para demostrar esta proposición utiliza el axioma 1/7 y la proposición 1/7, por último para demostrar esta proposición (1/7) utiliza las definiciones 1/d3 y 1/d5.

Como se puede observar, para entender la construcción de su “Ética” es necesario regresar continuamente a las proposiciones, axiomas y definiciones detallados anteriormente y que se hace indispensable un método, si es posible gráfico, que nos permita visualizar estas relaciones.

Es por ello el presente trabajo, para que, de una manera fácil y gráfica contribuya al estudio de este libro.


2. Objetivo principal.

Diagramar las relaciones existentes de las dos primeras partes (De Dios y De la naturaleza y origen del alma) en “Ética demostrada según el orden geométrico” de Baruj Spinoza entre sus definiciones, axiomas y proposiciones.

3. Objetivos secundarios.

Proporcionar material visual al estudio de la Ética de Baruj y de esta forma contribuir a su estudio.

Realizar un pequeño estudio estadístico de las relaciones existentes entre las definiciones, axiomas y proposiciones.

Encontrar, si es posible, demostraciones, que utilizan de una forma repetitiva otras proposiciones que se desprenden de las mismas (redundantes).

4. Alcance y Limitaciones

Para realizar el presente trabajo he limitado su diagramación y análisis estadístico a sus proposiciones y demostraciones de las dos primeras partes de la “Ética demostrada según el orden geométrico”, esto es: Parte 1: De Dios, Parte 2: De la naturaleza y origen del alma.

He excluido todos sus Corolarios y Escolios, para de esta forma mostrar su “estructura pura” de la propuesta de Baruj. Cuando éstos son tomados en cuenta en demostraciones de proposiciones posteriores, la que he tomado en cuenta es la proposición, no su corolario.

Así también cuando en una proposición existen más de una demostración, he limitado a la primera demostración.

Los lemas (en la parte 2) son también demostrados a partir de axiomas y proposiciones, éstos también los he excluido del presente trabajo.

5. Métodos a utilizarse y Herramientas gráficas.

Para la visualización gráfica de las relaciones se utilizará los grafos los cuales son representaciones gráficas mediante puntos geométricos y arcos que los unen, de procesos o relaciones funcionales en general. Los conceptos más importantes en la teoría de grafos son: 1) Camino: conjunto de arcos adyacentes orientados en el mismo sentido, 2) Circuito: camino que llega a su vértice de partida y 3) Longitud de un camino: número de arcos que lo componen. Los grafos son utilizados en la representación de numerosas cuestiones de ciencia pura y aplicada, permitiendo plantear y resolver problemas de optimización. Para esta representación se han escogido los círculos para las proposiciones, rectángulos para las definiciones, triángulos para los axiomas al inicio de las partes, octágonos para los postulados, rombos para los lemas y cruz para otros axiomas (contenidos después de la proposición 13 de la parte 2). Se utilizará colores en los grafos para evitar cruces entre las relaciones que las unen.

Para su análisis estadístico a partir de estos grafos se realizará una matriz de relación la cual consistirá en una matriz en las cuales sus filas y columnas serán los vértices de los grafos, es decir serán las proposiciones, definiciones y axiomas. Se ubicará el valor de 1 en la celda respectiva cuando exista relación entre sus vértices; por ejemplo para demostrar la proposición 1/5 se necesita de la proposición 1/1, entonces deberá existir el valor de 1 en la celda respectiva: MATRIZ[5,1]=1, siendo el primer valor la fila y l segundo la columna. De esta forma al sumar el contenido de toda una fila se obtendrá el número de entradas (definiciones, proposiciones y axiomas) que fueron necesarias para demostrar la proposición que se encuentra en la fila, y al sumar el contenido de toda una columna se obtendrá el número de salidas, es decir el número de utilizaciones de la definición, proposición o axiomas para demostrar otra proposición.

Por último, mediante el método de “Deducción natural” se utilizará la “regla de eliminación” para excluir “caminos” repetidos o redundantes, como por ejemplo: para demostrar la proposición 2/15 se puede seguir uno de los siguientes caminos: 2/7à 2/8 à 2/9 à 2/12 à 2/13 à 2/15, mas adelante en su demostración de esta proposición (2/15) utiliza la proposición 2/7, que como se ve ya se encuentra implícita su utilización (al referirse a la proposición 2/13), por lo que es eliminada esta última (2/7 à 2/15). De esta forma eliminaremos “relaciones redundantes”. Esto se aplicará únicamente para las proposiciones.

6. Grafos.

Se presentan cuatro grafos, dos por cada parte (Ver grafico 1). En el primero de cada parte se ha levantado el grafo de igual forma como está en su demostración, es decir respetando todas sus proposiciones, definiciones y axiomas, por ello lo he denominado “CON REDUNDANCIAS”.

En el segundo de cada parte se ha aplicado la regla de eliminación, por ello se denomina “SIN REDUNDANCIAS”.

Estos gráficos los he realizado utilizando el programa informático Excel, el archivo se llama: “demostracion baruj via grafos.xls”, el cual contiene 4 hojas (explicados en los párrafos anteriores) y he aumentado macros que se ejecutan al realizar clic sobre cualquier objeto mostrando al usuario la proposición, axioma o definición escogido.

CON REDUNDANCIAS:

SIN REDUNDANCIAS:

7. Análisis Estadístico.

Gracias a la matriz de relación se pueden observar lo siguiente:

Parte 1:

El total de relaciones es de 89.

Las proposiciones que necesitan de mayor número de entradas (otras proposiciones, definiciones o axiomas), es decir las mas complejas, con un valor de 6 (6,7%) son las proposiciones 1/23 (Todo modo que existe necesariamente y es infinito, ha debido seguirse necesariamente, o bien de la naturaleza de algún atributo de Dios considerada en absoluto, o bien a partir de algún atributo afectado de una modificación que existe necesariamente y es infinita) y 1/28 (Ninguna cosa singular, o sea, ninguna cosa que es infinita y tiene una existencia determinada, puede existir, ni ser determinada a obrar, si no es determinada a existir y obrar por otra causa, que es también finita y tiene una existencia determinada; y, a su vez, dicha causa no puede tampoco existir, ni ser determinada a obrar, si no es determinada a existir y obrar por otra, que también es finita y tiene una existencia determinada, y así hasta el infinito).

Las proposiciones que más se utilizan (salidas) para demostrar otras proposiciones son: con un valor de 7 (7,9%) la proposición 1/11 (Dios, o sea, una substancia que consta de infinitos atributos, cada uno de los cuales expresa una esencia eterna e infinita, existe necesariamente) y con un valor de 6 (6,7%) la proposición 1/15 (Todo cuanto es, es en Dios, y sin Dios nada puede ser ni concebirse). En esta misma línea las definiciones 1/3 (Por substancia entiendo aquello que es en sí y se concibe por sí, esto es, aquello cuyo concepto, para formarse, no precisa del concepto de otra cosa) es utilizada en 9 (10,1%) ocasiones y la definición 1/5 (Por modo entiendo las afecciones de una substancia, o sea, aquello que es en otra cosa, por medio de la cual es también concebido) en 6 (6,7%) ocasiones.

Los axiomas 1/2 y 1/3, así como la definición 1/7 no son utilizados en ninguna demostración en estas dos partes.

Parte 2:

El total de relaciones es de 92.

Las proposiciones que necesitan de mayor número de entradas (otras proposiciones, definiciones o axiomas), es decir las mas complejas, con un valor de 7 (7,6%) es la proposiciones 2/11 (Lo primero que constituye el ser actual del alma humana no es más que la idea de una cosa singular existente en acto) y 2/24 con un valor de 6 (6,5%) (El alma humana no implica el conocimiento adecuado de las Partes que componen el cuerpo humano).

Las proposiciones que más se utilizan (salidas) para demostrar otras proposiciones son: con un valor de 7 (7,6%) la proposición 2/13 (El objeto de la idea que constituye el alma humana es un cuerpo, o sea, cierto modo de la Extensión existente en acto, y no otra cosa) y con un valor de 6 (6,5%) la proposición 2/16 (La idea de la afección, cualquiera que ésta sea, en cuya virtud el cuerpo humano es afectado por los cuerpos exteriores, debe implicar la naturaleza del cuerpo humano y, a un tiempo, la del cuerpo exterior). En esta misma línea la definición 1/4 (Por atributo entiendo aquello que el entendimiento percibe de una substancia como constitutivo de la esencia de la misma) es utilizada en 5 (5,4%) ocasiones.

Hace uso de las proposiciones, definiciones y axiomas de la parte 1 en 20 ocasiones (21,7%).

Las definiciones 2/1, 2/3, 2/4, 2/5, 2/6 y 2/7, y los lemas 2/2 y 2/5, no son utilizados en ninguna demostración en estas dos partes. Es decir no utiliza ninguna definición de la segunda parte a excepción de la 2/2 (Digo que pertenece a la esencia de una cosa aquello dado lo cual la cosa resulta necesariamente dada, y quitado lo cual la cosa necesariamente no se da; o sea, aquello sin lo cual la cosa -y viceversa, aquello que sin la cosa- no puede ni ser ni concebirse).


Acumulados:

La proposición 1/15 (Todo cuanto es, es en Dios, y sin Dios nada puede ser ni concebirse) es utilizada en 10 (5,5%) ocasiones de un total de 181 relaciones. Y las definiciones 1/5 (Por atributo entiendo aquello que el entendimiento percibe de una substancia como constitutivo de la esencia de la misma) y 1/6 (Por Dios entiendo un ser absolutamente infinito, esto es, una substancia que consta de infinitos atributos, cada uno de los cuales expresa una esencia eterna e infinita) en 8 (4,4%) ocasiones. Estas podríamos llamarlas las ganadoras por su recurrencia.

8. Conclusiones.

Prestando atención a la matriz de relaciones (no presentada en el presente artículo para el blog), desde la parte superior izquierda hasta la parte inferior derecha (únicamente las proposiciones), se puede observar como Baruj, va construyendo su propuesta puramente deductiva, es decir, a partir de las anteriores proposiciones, ya que podemos imaginar dentro de esta matriz que existe un triángulo rectángulo que se construye con los valores depositados en ella.

Para el presente trabajo he excluido Corolarios, Escolios y otras demostraciones de una misma proposición, ya que de haber tomado en cuenta, la complejidad de esta labor hubiera aumentado de forma exponencial, lo que demuestra la riqueza y complejidad de su propuesta.

A partir de los diagramas de Grafos se puede notar que existen varios caminos para llegar a un vértice (proposición) sin ser redundantes como es el caso: (1/11 à 1/19 à 1/23 y 1/11 à 1/21 y 1/22 à 1/23) o (2/8 à 2/11à 2/20 y 2/8 à 2/9 à 2/20), lo que acentúa la aseveración expuesta en el anterior párrafo.

Existen definiciones y axiomas que no son utilizados en la parte 1 y parte 2, como por ejemplo, el axioma 1/2 (Lo que no puede concebirse por medio de otra cosa, debe concebirse por sí), que nunca es utilizado en todo el texto o el axioma 1/3 (De una determinada causa dada se sigue necesariamente un efecto, y, por el contrario, si no se da causa alguna determinada, es imposible que un efecto se siga) que solo es utilizado para demostrar la proposición 5/33.
En el caso del axioma 1/2, el cual no es utilizado en demostraciones en todo el trabajo de Baruj, se podría afirmar que hemos encontrado una falla en su trabajo, situación que no la creo, mas bien afirmaría que abundó en su propuesta.

Por último, lo que personalmente me llamó más la atención, es el encuentro de la proposición más utilizada (por lo menos en las dos primeras partes), la 1/15, la cual afirma de la existencia de Dios (el Dios de Baruj). Se ve claramente la necesidad de esta afirmación para la construcción de toda su propuesta.



Bibliografía

Baruj de Spinoza, Ética demostrada según el orden geométrico, Ediciones Orbis S.A. Hyspamerica, 1980, Madrid.

Baruj Spinoza, Ética demostrada según el orden geométrico, Editorial Trotta, 2da edición, 2005, Madrid.

Ferrater Mora, Diccionario de Filosofía, Ariel Filosofía, 3ra reimpresión, 2004, Barcelona.

La Enciclopedia, Salvat Editores, Colombia, 2004.

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